解析数论一个，几何一个，模形式一个。
还能怎么答？
李东在台上看了看下面。
他嘴角微微地翘了一下。
“三个答案，都对。”
“但是都不彻底。”
“第一位学长的答案告诉你哪些n有解、哪些n没解。”
“第二位同学的答案告诉你解的总数大概是πN。”
“最后这一位同学的答案告诉你，这东西最后能落到一个生成函数上头去。”
“可是有一件事，他们三个人都没答。”
他停顿了一下。
“对一个具体的n，它到底有几组解？”
“精确的几组。”
“解数到底是怎么决定的？”
“既不是素因子分解的'有/无'。”
“也不是面积估算的'大概'。”
“当然更不是θ2这一个对象的笼统描述。”
“是一个精确到每一个n的闭形式的公式。”
台下所有人此时都安静的听着。
他们这才意识到。
他们刚才答的三条路，都没碰到这个核心。
有一种“我刚才答得很对，但是好像和你问的不是一回事“的尴尬感。
李东转过身，在黑板上写了一行字。
【r2(n)= 4·( d1(n)– d3(n))】
然后他在下面一行接着写。
【d1(n)=#{ d | n， d≡ 1 (mod 4)}】
【d3(n)=#{ d | n， d≡ 3 (mod 4)}】
他放下粉笔，转过身。
“这是雅可比1828年给出的一个精确公式。”
“对每一个n，它有几组解，看它的因子里头模4余1的有几个、模4余3的有几个，做一个差，再乘以4。”
“完事。”
台下“嘶”地一声。
有几个研究生忍不住低声嘀咕了。
“这……这是怎么写出来的？”
“这两件事怎么扯上的？”
李东笑了一下。
他抬起手，在黑板上写了一组新的符号。
【Z[i]={ a + bi : a， b∈Z}】
“高斯整数。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整数。”
“在这一个新的数系里头，你做一件事。”
“你把一个整数n，展开成它在Z[i]里的素因子分解。”
他在黑板上画了一个分支。
“在普通的整数里，5是素数。”
“可是在Z[i]里，5 =(2 + i)(2– i)。”
“它分裂了。”
“3呢？在Z[i]里，它还是素数，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“为什么有的素数分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已经发亮了，然后大声说道。
“模4余1的分裂。”
“模4余3的不分裂。”
李东点了点头。
“所以r2(n)其实问的是什么？”
“问的是把n在Z[i]里头分解成两个高斯整数的乘积，有多少种分法。”
“这是高斯整数里头的'除数函数'。”
“换一个数系，这个问题从'数解'变成了'数除数'。”
“换一个视角，这个问题就从'代数变换的组合问题'，变成了'数论里头熟悉的因子计数问题'。”
他停顿了一下，指了指邱嘉源
“这位同学，你刚才那一个面积估算说r2(n)的平均阶是π。”
“你知道为什么是π吗？”
邱嘉源有些犹豫的说道。
“圆的面积公式。”
“是。”
李东摇了摇头。
“也不是。”
“圆的面积公式，是一个表象。”
“你把这个解数函数r2(n)做一个 Dirichlet级数。”
李东在黑板上又写了一行。
【Σ r2(n)/ n^s = 4·ζ(s)· L(s，χ)】
“它在解析上分裂成两个东西的乘积。”
“一个，是黎曼ζ函数。”
“另一个，是模4那一个非平凡特征的 Dirichlet L函数。”
“乘积的第一项，在s=1处有极点，留数等于1。”
“乘积的第二项，在s=1处的值，是π/4。”
“两个一乘，就出了那一个π。”
“这才是为什么平均阶是π的原因。”
“那一个π，不是从圆里头掉出来的。”
“是从一个L函数里头掉出来的。”
台下的人现在已经懵了。
邱嘉源那一口气没缓上来。
他刚才答的“圆的面积”。
是这个L函数在s=1那一头留下来的一个偶然事件。
李东转过身。
“我们再退一步。”
“刚才那一个L(s，χ)是什么？”
“它是把模4那个简简单单的奇偶性，翻译成了一个解析对象。”
“这一档东西，有一个名字。”
“它叫……自守L函数最初的、最最最低维的一个例子。”
“GL(1)上的自守L函数。”
他到此刻，一句“朗兰兹”都没提。
但是在场的研究生们，听到这儿，脸色都已经变了。
他们意识到了。
这个看起来像是“小学生数题数解”的小游戏。
是一个19世纪的数学家用最朴素的方式，触碰到了20世纪最庞大的那一座山的山脚。
而这一座山，刚刚由这一位面前的少年，被命名了一块新的山头。
李东在黑板上，把那两个公式之间画了一根简单的箭头。
然后他看着台下。
“我说这一节课不讲朗兰兹。”
“我没骗你们。”
“我没讲。”
他笑了一下。
“但你们刚才听见的每一个字，其实都在讲。”
“问题没变。”
“a2+ b2= n，解多少组。”
“答案在变。”
“代数视角告诉你，要换数系。”
“几何视角告诉你，平均阶是π。”
“分析视角告诉你，π来自于一个L函数。”
“它们其实是同一件事。”
“同一件事，只是被不同的人，用不同的语言，说了三遍。”
台下安静极了。
李东这个时候，语气慢了下来。
“我以前有一位高中老师。”
“教我数学的。”
“他和我说过一句话。”
“原话当然我记不太清了，我就大概说说意思。”
“几何也好，代数也好，分析也好，数论也好，组合也好。”
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