台下有人忍不住小声地嘀咕了一句。
李东转过身，在背后的黑板上一笔一划地写下了一行字。
【对每个正整数n，数一下：有多少对整数(a， b)，使得 a2+ b2= n？】
他写完，转过身来。
“很简单一个问题啊？”
“小学生都会做。”
“那咱们就从小学生那一档做起。”
他在黑板上开始往下列。
“n = 1。”
“a2+ b2= 1。”
“答案，(±1， 0)和(0，±1)，四组。”
“n = 2。”
“a2+ b2= 2。”
“(±1，±1)，四组。”
“n = 3呢？”
台下一片低声嘀咕。
李东笑了一下。
“零组。”
“为什么？平方数mod 4，只能是0或1，加起来只能是0、1、2。”
“所以3不行。”
“n = 4，四组。n = 5，八组。n = 6，零组。n = 7，零组。n = 10，八组。”
他每报一个数，台下记笔记的速度就越来越快。
李东把这一串记完，他转过身。
“找规律。”
“哪一位起来给我说一说？”
台下一阵安静。
然后，后排坐着一个戴眼镜的男生举起了手。
李东一指。
“这位同学，起来。”
那个男生站起来。
后排坐着的几个复大数院的本科生，一下子就转过头来看他了。
“靠，章衡也来了？”
章衡。
复大数院在读博士，博三。
本科燕大，IMO 2018年银牌。
现在跟着复大的一位长江学者做解析数论方向。
他整个人在数院里头，是属于“导师下学期发论文挂二作”的那一档稳的研究生。
此时的章衡站起来，清了清嗓子。
“这一组数，我感觉……”
“应该是和n本身的素因子分解有关。”
“3 mod 4的素数，如果在n里头出现奇数次，那就没有解。”
“如果都是偶数次，就能写。”
“再具体的次数，我得算一下。”
他答得不算慢。
这是搞解析数论的教材标准答案。
李东笑了一下，也没说对不对。
“答得很标准。”
“再来一位。”
台下又有一只手举了起来。
这一回是更后面靠门口的那一片。
一个大概二十一、二岁，圆脸，看着很活泼的男生。
“邱嘉源。”
旁边人立马就有人嘀咕。
“水木的那一位？”
“对，IMO 22年金牌，大三。”
“陶哲轩前几个月还转发过他一篇随手写的小笔记呢。”
邱嘉源站起来。
“我不从素因子分解走。”
“我从几何走。”
“你这个问题，本质是问平面上以原点为中心、半径为√n的那一圈圆周上，落了多少个整点。”
“如果把所有n的解加起来，那就是平面上到原点距离不超过√N的整点总数。”
“按面积估算，是πN左右。”
“高斯做圆内整点的时候，给出过这个估计。”
李东点了点头。
“嗯，几何视角，正确。”
“还有么？”
台下又有一只手慢吞吞地举了起来。
这一回是靠墙最边上一个戴着鸭舌帽的女生。
李东朝她示意。
“这位同学。”
她站起来，声音不大。
“我从生成函数走。”
“考虑θ函数θ(q)=Σ q^(n2)。”
“r2(n)，就是θ(q)2在 q^n这一项上的系数。”
“所以这个问题，本质上是研究θ2这一个对象。”
“……我只能走到这一步。”
她坐了下去。
李东在台上“哎”了一声。
“这一位同学，已经站在下一站的门口了。”
他冲她点了点头。
“你这个方向，是对的。”
“只不过它通向的，不是这一道题的答案。”
“它通向的，是雅可比、克莱因、希尔伯特那一些人想了一辈子的另一座山。”
“咱们今天先把这一座山过了，再谈下一座。”
这句一出来。
台下那一群研究生。
有几个突然就坐直了。
他们听出来了。
李东说的“下一座山“。
就是模形式。
三位答完。
教室里头反而更安静了。
按理说，这三个答案已经把这道题“三个最常用的方向“都答全了。
解析数论一个，几何一个，模形式一个。
还能怎么答？
李东在台上看了看下面。
他嘴角微微地翘了一下。
“三个答案，都对。”
“但是都不彻底。”
“第一位学长的答案告诉你哪些n有解、哪些n没解。”
“第二位同学的答案告诉你解的总数大概是πN。”
“最后这一位同学的答案告诉你，这东西最后能落到一个生成函数上头去。”
“可是有一件事，他们三个人都没答。”
他停顿了一下。
“对一个具体的n，它到底有几组解？”
“精确的几组。”
“解数到底是怎么决定的？”
“既不是素因子分解的'有/无'。”
“也不是面积估算的'大概'。”
“当然更不是θ2这一个对象的笼统描述。”
“是一个精确到每一个n的闭形式的公式。”
台下所有人此时都安静的听着。
他们这才意识到。
他们刚才答的三条路，都没碰到这个核心。
有一种“我刚才答得很对，但是好像和你问的不是一回事“的尴尬感。
李东转过身，在黑板上写了一行字。
【r2(n)= 4·( d1(n)– d3(n))】
然后他在下面一行接着写。
【d1(n)=#{ d | n， d≡ 1 (mod 4)}】
【d3(n)=#{ d | n， d≡ 3 (mod 4)}】
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