我的学习群里全是真大佬 第114章

　　张教授在黑板上画了一个圆和一个正方形。

　　“但到了大学，到了我们这门《几何与拓扑基础》，你们要学会转换思维。”

　　“我们不再关心这个图形到底有多大、角度是多少，我们关心的是空间在连续形变下，那些保持不变的结构和本质。”

　　“从死算数值，到洞察结构，这就是从高中到现代数学的跨越。”

　　张教授讲得深入浅出，台下这群天之骄子们也学聪明了，没人再狂记笔记，而是纷纷举起手机，拍下黑板上那些结构图和核心概念。

　　一节课不知不觉讲了大半。

　　张教授放下粉笔，笑道。

　　“好了，理论讲了这么多，咱们来检验一下大家这节课有没有认真听讲，思维有没有成功转换过来。”

　　他转过身，在黑板上写下一道题：

　　【在二维平面上给定不在同一直线上的三点A、B、C（且任意内角均小于120度）。求作一点P，使得距离之和PA+PB+PC取得最小值。】

　　“这是一道非常经典的极值优化问题——费马点问题。”

　　张教笑著看向台下的同学。

　　“谁会了？上来给大家说说思路。”

　　全班没有人举手。

　　这道题难度其实并

　　不算大，元培学院的这帮学神里，至少有一半人在高中搞竞赛时见过类似的变式。

　　但此刻，大家却出奇的一致，谁也没有动，只是默默的将目光投向了坐在第一排的李东。

　　张教授见状，忍不住笑了。

　　“不是，你们看李东同学干嘛？”

　　张教授调侃道。

　　“人家发在《Math.Comp.》上的是算法和数论的论文，又不是这道几何题。”

　　“你们难道现在，连上台做题的勇气都没有了？”

　　张教授的话切中了要害。

　　大家不上，不是因为不会，而是觉得在李东这个“真神”面前班门弄斧，万一自己的解法太笨，会被看不起或者嘲笑。

　　“做学问，如果连质疑权威、展示自己的勇气都没有，还没比就先认输，那你们以后还怎么做科研？”

　　张教授语重心长的对这群学生说道。

　　话音刚落，坐在李东旁边的王浩站了起来。

　　“张老师，我来试试！”

　　张教授满意的点了点头。

　　“好，上来写。”

　　王浩走上讲台，拿起粉笔，直接切入了这道题最经典、也是最严谨的几何代数解法。他在黑板上画出三角形，迅速写下核心步骤：

　　【通过将三角形APB绕点B旋转60度得到三角形A'P'B，此时三角形PBP'为等边三角形，故PB=PP'。】

　　【则原距离和转化为：PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。】

　　【根据两点之间线段最短，当A'、P'、P、C四点共线时，该距离和取得最小值。】

　　【此时易证角APB=角BPC=角CPA=120度。】

　　整个过程逻辑严密。

　　张教授点了点头，冲著全班说道。

　　“王浩同学这题做得很对！利用几何旋转构造共线，这是从这个角度切入最简单、也最高效的解法。”

　　“所以啊，在真理面前，大家都是平等的，不要去畏惧任何光环！”

　　其实这才是张教授想和这群天骄们说的话。

　　他是怕这群天骄被李东打击的失了心气，因此才有今天的这堂课。

　　王浩走下讲台，他觉得张教授说得对。

　　自己现在在底层算法上可能确实不如李东，但在面对纯粹的数学几何问题时，正确的解法就是正确的。

　　我王浩，在这方面绝不比你李东差！

　　他坐回座位，想看看李东的反应。

　　结果刚好看得到李东也在草稿纸上解出了这道题。

　　只是……

　　“卧槽？”

　　王浩没忍住，当场低呼了一声。

第123章 现在的年轻人，一个比一个猛(这张是免费的)

　　王浩的低呼声，自然引起了讲台上张教授的注意。

　　他有些好奇的下讲台，来到了第一排，目光自然而然的落在了李东的那张草稿纸上。

　　只看了一眼，这位见多识广的燕大教授就微微一愣。

　　紧接着，他竟然觉得老脸有些发烫。

　　自己刚才还在讲台上信誓旦旦的说，王浩那种利用旋转60度构造等边三角形的方法，是切入这道题最高效的解法。

　　可现在，看着李东草稿纸上画着的那个带细线和重物的模型……

　　他有点后悔说那话了……

　　他当然看得懂这是什么，只是在一堂纯粹的《几何与拓扑基础》课上。

　　谁的脑回路会突然跳跃到经典力学上去？

　　这小子居然用极其基础的受力平衡和重力势能，硬生生的砸开了这道纯几何极值题的壳。

　　李东正拿着笔，准备在纸上再顺手推演一下，突然感觉光线被挡住了。

　　他一抬头，正好对上张教授那玩味的眼神。

　　“呃……张老师，我这个其实……”

　　李东刚想开口解释两句，张教授却阻止了他往下说。

　　“李东，你上去。”

　　“把你的这个思路，给全班同学讲讲。”

　　此话一出，教室里的同学们面面相觑。

　　“嗯？怎么还有更优的解法吗？”

　　“这道费马点问题，不旋转构造的话，难道直接用解析几何硬建系去算导数求极值？那计算量不得爆炸啊！”

　　而坐在李东旁边的王浩，眼神复杂的看着李东。

　　作为天才，他并不嫉妒李东，只是看着室友那种总能跳出三界外、不在五行中的解题姿势，感到一种深深的无奈。

　　“天才和天才真的也有差距呀……”

　　李东无奈的站起身，走向讲台对台下的同学说道。

　　“其实就像王浩刚才的解法，那在几何上确实是最简单的。”

　　“但是，我们或许可以换个角度来看待这个问题。”

　　他在黑板上画了一个类似桌面的平行四边形，然后在上面点了A、B、C三个点。

　　“假设，我们现在有一张绝对光滑的水平桌面，在桌面上对应着题意，打下A、B、C三个小孔。”

　　“忽略掉一切绳子质量、桌面摩擦和空气阻力。”

　　“然后，我们取三根长度均为L的细线，将它们的上端在桌面内打个死结，也就是点P。”

　　“下端分别穿过这三个小孔，并在每一根细线的末端，各悬挂一个质量均为m的等重砝码。”

　　随着李东的画图和描述，台下的学生们脑海中不自觉的浮现出了一个生动的物理力学模型。

　　李东继续在黑板上写到。

　　“以桌面为零势能面，向上为正方向。”

　　“那么穿过小孔A的那根细线，它下方悬挂的砝码高度，就是-(L-PA)=PA-L。”

　　“它的重力势能就是mg(PA-L)。”

　　“同理，三个砝码的总重力势能Ep，可以表示为：

　　【Ep=mg(PA-L)+mg(PB-L)+mg(PC-L)】

　　【即：Ep=mg(PA+PB+PC)-3mgL】

　　写到这里，李东用粉笔在(PA+PB+PC)下面画了一条横线。

　　“根据物理学中的势能原理，系统静止达到稳定平衡时，重力势能最低。”

　　“而在这个公式里，m、g、L都是常数，所以当系统势能最低时，对应的必然是PA+PB+PC取得最小值。”

　　“那么，当系统达到平衡状态时，桌面上的那个结点P，受力情况是怎样的呢？”

　　“它在桌面上受到三个来自细线的拉力作用而平衡，三个拉力大小均等于砝码的重力mg。”

　　“要使三个大小相等的共点力合力为零，它们之间的夹角必须完全相等。”

　　李东说出了最后的答案：“即角APB=角BPC=角CPA=120度。”

　　整个阶梯教室安静极了。

　　用物理学的能量视角去求几何线段的极值。

　　严格从纯数学的角度来说，这种方法是有些投机取巧的，甚至稍微偏离了数学推导的严谨性。

　　但它震撼人心的地方，恰恰在于那种跨学科的降维思维。

　　几何法的最大难点，在于“灵感门槛”——为什么偏偏要想到旋转60度去构造等边三角形？如果没有大量的做题积累，很多新手会完全卡死在这里，找不到构造的方向。

　　但物理法用的是“重物自然下垂找平衡”的生活常识，不需要硬憋几何技巧，直觉上就能直接理解，门槛反而更低。

　　更重要的一点是，通用性。

　　几何法只能解决3个点的费马点问题，一旦拓展到4个点、甚至N个点的极值问题（比如N个点的广义费马点问题），几何构造会变得极其复杂，甚至无法实现。

　　但物理法却可以直接推广。

　　多一个点，就在桌面上多钻一个孔、多挂一个等重的砝码。

　　平衡状态的结论依然成立！

　　它从本质上抓住了“极值=势能最低”的核心逻辑。

　　在未来的科研道路上，面对复杂的课题时，往往不是为了学术而学术，而是为了解决实际落地的问题。

　　能跳出单一学科的桎梏，抓到解决问题最高效的工具，这才是最顶级的科研直觉。

　　而李东现在的思维，显然已经领先了这群同龄的天骄们很大一段路程了。

　　台下的同学们看着黑板，突然有一种茅塞顿开的感觉，李东这一课确确实实让他们收获很大。

　　这种全新的思路，让他们隐隐感觉到，以后在做科研时，或许可以少走很多弯路。

　　“看这个切题的角度，李东的物理应该也不错吧？”有人忍不住小声嘀咕了一句。

　　坐在第一排的王浩听到这话，在心里凄凉的“呵呵”了一声。

　　“你们恐怕不知道，这家伙开学第一天就在寝室里说，他最喜欢的就是物理！”

　　以前王浩还以为李东是虚张声势，但现在，这已经是第二次被李东用物理方法解决数学问题给震撼到了。

　　他是真的信了！

　　“叮铃铃……”

　　张教授看着讲台上的李东，虽然被李东打了脸，但是眼中依然掩饰不住的欣赏。